Tema 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Introducción

Como recordarás en el tema 1, conociste el concepto de variables. Las variables se pueden clasificar en dos categorías: cualitativas (miden una cualidad o característica) y cuantitativas (miden una cantidad numérica). Las variables cuantitativas se dividen en variables discretas (las cuales adquieren un número contable o finito de valores) y variables continuas (toman valores infinitos que corresponden a los puntos sobre un intervalo en una recta).

Haz clic en el siguiente video para conocer más sobre variables aleatorias discretas y continuas.

FísicayMates( 2014, 7 de abril) Variables aleatorias discretas y continuas | Estadistica UNED. [Archivo de video].
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=n0T_HcJ7oak

El siguiente enlace es externo a la Universidad Tecmilenio,
al acceder a éste considera que debes apegarte a sus términos y condiciones.

Explicación

3.1 Variables aleatorias

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico al resultado de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, al lanzar dos monedas podemos obtener 4 resultados posibles:

• Sol y sol
• Águila y sol
• Sol y águila
• Águila y águila

La variable aleatoria X será el número de veces que sale águila en el lanzamiento de las dos monedas, quedando de la siguiente manera:

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Si el número de valores que puede tomar una variable es contable, entonces se denomina variable aleatoria discreta, de tal forma que al señalar estos puntos sobre una recta estarían separados. Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas son el número de casas en una ciudad, el número de semillas en una fruta, etcétera.

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores que corresponden a los puntos en el intervalo de una recta. Algunos ejemplos de estas variables son el peso en kilogramos de una persona, el rendimiento en toneladas de algún cultivo, la presión arterial en milímetros de mercurio, etcétera.

3.2 Distribución de variables aleatorias discretas

Las probabilidades también pueden estar en función de una variable. Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es aquella función que asigna probabilidades a los valores de la variable aleatoria.

La variable aleatoria se designa con la letra X mayúscula, mientras que los valores que puede tomar esa variable se designan con la x minúscula.

Si tienes un dado de 6 lados, el espacio muestral, es decir, todos los posibles resultados, serán 6 (del 1 al 6) y las probabilidades de que salgan cada uno de esos 6 números es de 1/6 para cada uno.

Si representamos esta función en una tabla, quedaría de la siguiente manera:

Si sumamos todas las probabilidades, el resultado será 1:

P (x=1) = 0.1667 + P (x=2) = 0.1667 + P (x=3) = 0.1667 + P (x=4) = 0.1667 + P (x=5) = 0.1667 + P (x=6) = 0.1667 = 1

Si x es un valor de una variable aleatoria X, entonces la probabilidad de que X tome el valor x se denotará por P(X=x); por ejemplo, para x=2, se escribirá P(X=2).

En general, los requerimientos para una función de probabilidad discreta son los siguientes:

Es decir, el valor de la probabilidad siempre está entre 0 y 1 y la suma de las probabilidades debe ser 1.

Si la distribución no cumple con estos dos criterios, entonces no se trata de una distribución de probabilidad.

Ejemplo
Considérense los siguientes valores de X

Se pueden verificar fácilmente las siguientes propiedades:

1. La suma de probabilidades es 1.
2. Las probabilidades están entre 0 y 1, inclusive.

Por lo que se concluye que esta es una función de probabilidades:

En cambio

Si se consideran los siguientes valores de X:

No es una función de probabilidad, puesto que la suma de sus probabilidades es 1.1.

Probabilidades como frecuencias relativas

En la práctica, las probabilidades que se asignan a los valores de una variable aleatoria a menudo se estiman de frecuencias relativas. Por ejemplo, supóngase que existe interés en el número de artículos que se venden diariamente. El gerente observa los resultados de los últimos 100 días, los cuales se presentan a continuación.

Pueden utilizarse las frecuencias para estimar la probabilidad de ocurrencia de cada valor de la variable aleatoria. Puesto que las probabilidades deben sumar 1, pueden estimarse las probabilidades al dividir cada frecuencia por el número total de días, que es 100. La distribución de probabilidad estimada es la siguiente:

Si se supone que las frecuencias relativas calculadas son estimadores confiables de las verdaderas probabilidades, puede decirse que, a largo plazo, un 5% de los días el distribuidor no vende carros y que un 35% de los días venderá dos carros.

Puede establecerse que la probabilidad de vender más de dos carros en cualquier día es la suma de las probabilidades de los valores de X que son mayores a 2. Esto es, P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) = 0.25 + 0.20 =0.45, lo cual significa que, a largo plazo, el 45% de los días se venderán más de 2 carros.

3.3 Distribución binomial

La distribución binomial se utiliza a menudo para representar una variable aleatoria discreta con los experimentos binomiales.

La característica principal de una distribución binomial es que solo presenta dos resultados posibles. Votar o no votar, estar enfermo o estar sano, comer o no comer, entrar o salir, tener cierta característica o no tenerla. Es común aplicar etiquetas de éxito y fracaso para los posibles resultados.

Las propiedades de un experimento binomial son las siguientes:

Para un experimento binomial, sea p la probabilidad de un éxito y q la probabilidad de un "fracaso" en un solo ensayo, entonces la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos está dada por la función de probabilidad f(x).

f(x) = P (X=k) por lo tanto, la ecuación de la probabilidad binomial es esta:

En donde:

n = el número de pruebas o experimentos realizados.
k = es el número de casos exitosos o deseados.
p= es la probabilidad de éxito.
q= es la probabilidad de fracaso y se calcula como

Y el número combinatorio es el siguiente:

Recuerda que por definición 0! = 1

Ejemplo 1:

Se afirma que una nueva dieta es exitosa el 85% de las veces. Si la dieta la realizan 5 personas y puede suponerse que los resultados son independientes entre sí:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro personas tengan éxito en la dieta?

Si k=4 es el número de personas que tienen éxito con la dieta, entonces n=5 y la probabilidad de que tengan éxito es p=0.85. Entonces, utilizando la ecuación binomial:

n=5
k=4
p= 85% que hay que convertir a decimal, quedando 0.85
q= 1-p = 1- 0.85 = 0.15

Por lo tanto, la probabilidad de que la dieta tenga éxito en 4 de 5 personas es de 0.3915, es decir, el 39.15%.

b.  ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres tengan éxito en la dieta?

La probabilidad que se está solicitando es la de 4 y 5, ya que esos son números mayores que 3.
Por lo tanto, la probabilidad que se solicita es la siguiente:

P (X > 3) = P (x=4) + P (x=5)

La P (x=4) ya la has calculado previamente con un resultado de 0.3915, por lo tanto, solo resta por calcular la probabilidad de P (x=5), para lo cual:

n=5
k=5
p= 0.85
q= 1-p = 1- 0.85 = 0.15

Y sustituyendo ambos resultados en la probabilidad final:

P (X > 3) = P (x=4) + P (x=5)
P (X > 3) = 0.3915 + 0.4437 = 0.8352

Por lo tanto, la probabilidad de que la dieta tenga éxito en más de tres personas es de 0.8352, es decir, un 83.52%

Ejemplo 2:

Si la probabilidad de que una persona acuda al psicólogo tras un evento traumático es del 66%, ¿cuál es la probabilidad de que 3 de 6 personas acudan al psicólogo?

En este caso tenemos que:
n= 6
k= 3
p= 66% = 0.66
q= 1-p = 1 - 0.66 = 0.34

Por lo tanto, la probabilidad de que 3 de 6 personas acudan al psicólogo es de 0.226, es decir, el 22.6%.

Y en este mismo ejemplo de las 6 personas, ¿cuál será la probabilidad de que entre 1 y 5 personas acudan al psicólogo?

En este caso, la probabilidad que se solicita es: P (1 > X < 5) = P(x=2) + P (x=3) + P (x=4)

Ya que los números comprendidos entre 1 y 5 son el 2, 3 y 4.

Previamente ya se calculó la probabilidad de P (x=3) = 0.226, así que solo falta la probabilidad de P (x=2) y de P (x=4).

La probabilidad de P (x=2) es la siguiente:
n= 6
k= 2
p= 66% = 0.66
q= 1-p = 1 - 0.66 = 0.34

La probabilidad de P (x=4) es esta:
n= 6
k= 4
p= 66% = 0.66
q= 1-p = 1 - 0.66 = 0.34

Por lo tanto, la probabilidad de entre 1 y 5:
P (1 > X < 5) = P (x=2) + P (x=3) + P (x=4)
P (1 > X < 5) = 0.0876 + 0.226 + 0.3289 = 0.6425

Es decir, la probabilidad de que entre 1 y 5 personas acudan al psicólogo es del 64.25%.

Ejemplo 3:

Un nuevo tratamiento contra el cáncer está teniendo mucha eficacia, hasta el punto de que el 80% de los pacientes ya lo han probado con excelentes resultados. Un grupo de 4 nuevos pacientes está a punto de entrar a las pruebas clínicas del nuevo tratamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo a 2 les resulte efectivo dicho tratamiento?

En este caso tenemos que:
n= 4
k= 2
p= 80% = 0.8
q= 1-p = 1 - 0.8 = 0.2

Por lo tanto, la probabilidad de que en el grupo de 4 personas a 2 les resulte eficaz el nuevo tratamiento es de 0.1536, es decir, un 15.36%.

Y en el mismo ejemplo, ¿cuál será la probabilidad de que a máximo 2 les resulte efectivo?

La probabilidad que se pregunta es todos los valores hasta el 2:
P (X≤ 2) = P (x=0) + P (x=1) + P (x=2)

Recuerda que la probabilidad de P (x = 2) ya se calculó arriba y era igual a 0.1536, así que solo se calculan las dos probabilidades restantes.

Por lo tanto, la probabilidad de P (x = 0) se calcula:
n= 4
k= 0
p= 80% = 0.8
q= 1-p = 1 - 0.8 = 0.2

Y la probabilidad de P (x = 1) se calcula:
n= 4
k= 1
p= 80% = 0.8
q= 1-p = 1 - 0.8 = 0.2

Por lo tanto, la probabilidad final es:

P (X≤ 2) = P (x=0) + P (x=1) + P (x=2)
P (X≤ 2) = 0.0016 + 0.0256 + 0.1536 = 0.1808 es decir un 18.08%.

Cierre

Las variables pueden ser aleatorias y se clasifican en discretas y continuas, y son funciones de probabilidad representadas por p(X), en donde la X mayúscula representa una variable aleatoria, la cual puede tomar diversos valores en números enteros representados por x minúscula por lo que P (X = x).

Este tipo de funciones de probabilidad se explican por la distribución binomial P (X = k) que representa un número n de ensayos independientes para una probabilidad que solo puede tener dos resultados posibles: el éxito o fracaso.

Por lo tanto, la distribución binomial puede ser útil si deseamos conocer la probabilidad de un evento que solo tiene dos posibles resultados.

Checkpoint

Asegúrate de:

• Comprender lo que representan las variables aleatorias discretas y continuas y su distribución.
• Entender la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y sus requerimientos.
• Identificar las propiedades de un experimento binomial.
• Utilizar correctamente la distribución binomial y realizar los cálculos correspondientes para obtener probabilidades en función del éxito o fracaso de un suceso dado.